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仙真论坛 » 北京大学炼功点 » 伽罗华群论

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佛光普照

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發表於 2022-1-1 07:05
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师父点化我们学学群论，这是师父的几乎一年前的帖子了。群论的魅力在哪里，杨振宁是曾经把群论运用的很精彩，群论与师父做的这件事有什么神秘联系

有弟子学过群论吗？就是伽罗华的那个群论

有学过的给我们讲讲吧，怎么证明出来的五次以上方程无根式通解呢？

我上初中的时候也想过这个问题呢

美苏争霸时期，英国法国的初中课本里就讲群论，那时候有一个理念，就是任何知识都可以讲懂给任何知识层次的人，如果讲不懂，那说明讲解的人还没搞懂。

李洪志
2021-2-16

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發表於 2022-1-4 02:56
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群论一开始接触比较艰涩难懂。先发一些科普文章吧熏陶熏陶，等看着看着就豁然开朗了。感觉群论是非常重要的

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發表於 2022-1-4 03:06
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五次方程：群与域——数学精灵阿贝尔与伽罗瓦
http://m.thepaper.cn/rss_newsDetail_12090449?from=

我依然不明白他是如何想出它的。
——理查德·费曼

（节选吧：）

伽罗瓦理论

一八二七年春天，就在阿贝尔去世前五天，还是中学生的伽罗瓦发表了第一篇论文，那是一篇有关连分数的论文，但他并不满足于此。与阿贝尔一样，伽罗瓦起初也把目标对准五次和五次以上方程的可解性问题，他着力于寻找这类方程的一般根式解，以求一鸣惊人。可是后来，他也转移了目标。

为了研究方程的可解性问题，伽罗瓦发明了“群”的概念，进而他建立起一门新的数学分支，现在人们称这套方法为伽罗瓦理论。所谓群，是由一些元素组成的，记为G（group）。这些元素之间存在一种运算×，它满足四条性质：封闭性，a和b属于G，则a×b也属于G；结合律，a、b、c属于G，则(a×b)×c=a×(b×c)；存在单位元1属于G，即对任意a属于G，满足1×a=a×1=a；对任何a属于G，存在逆元素b，a×b=b×a=1。

如同高斯所证明的，每个n次复系数方程有n个复根。依照排列组合原理，n个根有n阶乘（n!）个置换，它们在乘法意义上构成置换群Sn。例如，三次方程的三个根x1、x2、x3组成的置换群S3共有6个元素，如果用下标表示的话便是（1），（12），(13)，(23)，（123）和（132），其中（1）表示恒等置换，（12）表示x1和x2互换，而（123）表示x1、x2、x3轮换。

按照拉格朗日定理，对有限群来说，子群的阶数（元素个数）必整除群的阶数，两者相除所得的整数叫指数。伽罗瓦定义了正规子群，它是一种性质较好的子群。例如，（1）（123）（132）组成的子群H是正规子群，阶数最高的正规子群称为最大正规子群。对于方程的可解性判断来说，伽罗瓦理论的精妙之处在于：n次方程根式可解当且仅当它的置换群Sn的最大正规子群系列之间的指数均为素数。

例如，S3的最大正规子群系列为S3、H、单位元群，其指数6/3=2，3/1=3，均为素数，故根式可解。而对于S4来说，它有24个元素，其最大正规子群G4有12个元素，G4的最大正规子群G3有4个元素，G3的最大正规子群G2有2个元素，最大正规子群系列的指数分别为24/12=2，12/4=3，4/2=2，2/1=2，均为素数，故也根式可解。

当n>4时，Sn的最大正规子群An共有n!/2个元素，而An的正规子群只有单位元群，因此其最大正规子群系列的指数为2和n!/2，后者当n>4是必不为素数。依据伽罗瓦理论，方程没有一般根式解。多么美妙简洁的判断和证明！这是十八岁的伽罗瓦的独立发现。它先是由理查德带给柯西，尔后又以《一个方程可以通过开方解出的条件》为题，递交给法兰西科学院，参与那年的数学大奖赛。

遗憾的是，法国数学的执牛耳者柯西忽视了伽罗瓦的论文（此时勒让德已老态龙钟），科学院秘书傅里叶又突然逝去，遗失了伽罗瓦的论文。如前所说，最后大奖颁给了德国数学家雅可比和已经去世的阿贝尔。说到柯西，他是历史上最多产的数学家之一，以他名字命名的定理遍布高等数学教程，而傅里叶发明的三角级数理论是应用数学最强有力的工具之一。

说到伽罗瓦理论，那是一种更一般的理论形式，这要依赖阿贝尔首先提出的“域”的概念。域是至少有两个元素的数集，它对应加减乘除（除数不为0）运算是封闭的，记为F（field）。正如群有子群，数域也有子域，若K是F的子域，则F是K的扩域。显而易见，有理数、实数和复数都是域。有理数域是最小的域，实数域和复数域都是它的扩域。此外，形如a+b（a和b是有理数）的全体也是域。

伽罗瓦定义了“方程的群”（伽罗瓦群），它是由一部分置换组成的子群，这些置换保持根的代数关系不变，即具有对称性。伽罗瓦证明了，对任意n，总能找到一些方程，其伽罗瓦群为整个Sn。而伽罗瓦扩域基本定理是说，方程的系数域与根域之间的所有域与伽罗瓦群的所有子群之间存在一一对应关系。这是伽罗瓦理论的核心，它帮助我们通过研究较为简单的置换群来解决复杂的域的问题。

报考综合理工学校失利和成果两次错失被承认的机会，远不是伽罗瓦最背运的遭遇。十八岁那年，他又一次报考综合理工学校，其结果是“一个较高智商的考生在一个较低智商的考官面前失败了”。从此，这所大学对他永远关闭了大门，因为只允许每个考生报考两次。据说，一道口试题他明明答对却被判错。离开考场前，愤怒的伽罗瓦把黑板擦掷到考官脸上。

http://m.thepaper.cn/rss_newsDetail_12090449?from=

[ 本帖最後由佛光普照於 2022-1-4 03:13 編輯 ]

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【知乎】为何从一元五次方程开始就没有由有限次加、减、乘、除、开方运算构成的求根公式了？

在回答问题之前，我想先来解释一下这个问题到底是什么意思。如题目所说，系数为有理数的五次（及以上）方程没有加减乘除和开方的求根公式。

不要理解为『有理数系数五次方程没有公式解』。我们有办法使用一些超越函数来构造出五次方程的公式解。这里说的是，只用『加减乘除』和『开方（即使用根号）』给不出五次方程的求根公式。

也不要理解为『对于每一个有理数系数的五次方程，都无法只用加减乘除和开方来表示出它的根』。对于某些五次方程，我们完全可以找到根式解，比如[公式] 的解（之一）是[公式] . 这里说的是，我们没法给出一个只使用加减乘除和开方的通用公式，使其可以给出任何一个有理数系数的五次方程的解——就像大家熟知的二次方程求根公式那样。

所以，理论上说，我们其实只需要找到一个没有根式解的有理数系数的五次方程，就可以说明五次方程没有只使用加减乘除和开方的求根公式了。这样的例子当然是有的，比如[公式] 就没有根式解。（当然，要说明其为什么没有根式解并不是一件简单的事情。）

其实，这个现象没有看上去那么神奇。这只是说明，『加减乘除』和『开方』的运算组合有其局限性罢了。如果我们不允许开方，只允许用加减乘除，那么我们只能给出一次方程的求根公式，对于二次方程我们便束手无策了——这就是『加减乘除』的局限性。通过引入『开方』运算，我们可以给出四次方程的一般解，这已经是一大进步啦=w= 所以，如果说『开方』运算如加减乘除一样，也有其局限性，这并不是一件那么让人意外的事情。

然而，这还是有一点点神奇的。神奇之处在于，为什么恰好是五次呢？为什么不是四次或者六次？嗯，这便是这篇回答想要讨论的问题。

大致思路是这样的：为了找到方程的解（在本文的语境下是多项式的根），我们需要进行域扩张，因为方程的解往往不在有理数域中。同时，多项式的根具有某种对称性。我们可以通过群的概念来描述对称性，而多项式的根的对称性可以转化为域扩张的对称性，后者可以被『伽罗瓦群』来描述。『加减乘除』这四种运算无法进行域扩张，而通过『开方』进行的域扩张（根式扩张）具有某种特殊的对称性——其对应的伽罗瓦群是『可解的』。而通常情况下，五次方程的解（即五次多项式的根）对应的域扩张的伽罗瓦群是『不可解的』，所以仅用『加减乘除』和『开方』不可能让我们从有理数域扩张到包含五次方程解的域。

好吧，我估计不少人都会觉得上面一段话『每个字都能看懂』……我会试图在回答里慢慢解释上述这些概念。如之前一样，这篇回答为了可读性，会牺牲一些严谨性。

https://www.zhihu.com/question/29316970?sort=created

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【群论入门】(1)：起源与应用

解方程给数学和科学带来深远影响远超其自身，但直到19世纪，代数基本等同于解方程，以至于今天，代数基本定理(下面将提及)竟然“荒唐”地认为不属于代数，基本定理竟然被开除，简直骇人听闻！那是由于它是关于方程的定理，诞生于代数与方程是同义词的时代。

解方程的里程碑：

公元前2000年，古巴比伦人在一元一次方程时产生了分数，即有理数；
数百年后，他们已了解了二次方程的根式解，产生了无理数；
16世纪，意大利数学家Cardano和Bombelli在求解一元三次方程时发明了虚数。著名数学家Sir Michael Atiyah(1929-2019)爵士说， $\sqrt{-1}=i$ 是数学史最伟大的单个发明；
探索高于4次的多项式方程是否存在求根公式，催生了群论。
求解线性方程组孕育了线性代数；

也因此，复数和线代都与群论内部结构相同，联系紧密。
群论的诞生是代数、几何和数论三个领域的发展共同推动的。
1800年左右，人们已经会解1至4次方程，但对于求解更高的次的方程还没有头绪。为了回答这个问题，挪威数学家阿贝尔(Niels Henrik Abel，1802-1829)的贡献良多，其中最著名的是首先证明了5次方程没有求根公式。

Niels Henrik Abel，1802-1829

法国数学家伽罗瓦(Évariste Galois，1811-1832）进行群论的开创性工作。代数基本定理告诉我们：方程是几次方就对应几个根，群论提供一种证明代数基本定理的方法。

Évariste Galois，1811-1832

差不多同时(1798)，高斯(Carl Friedrich Gauss, 1777-1855)在其经典的数论著作中提出了模算术(Modular Arithmetic)，其逻辑也与群一致。下图中，时钟的模数为12，

$9+4=13\equiv1$ 。

时钟的模数为121800年代，已统治了两千年的欧几里得几何面临革命，双曲几何和球面几何等非欧几何呼之欲出。人们很快发现群是研究这些几何的重要工具，1827年，莫比乌斯(August Ferdinand Möbius, 1790-1868)在完全不了解群的概念的情况下，使用特定群的几何不变性这一事实对几何图形进行分类。

A fundamental domain for a right-angled Coxeter group.

来源https://sites.tufts.edu/verseimreu/geometric-group-theory-and-topology/

环的概念是在证明费马大定理过程中产生的，数论中的整数集合是一个环，与几何、高次方程求解一样，数论为抽象代数的发展提供了实例和源泉。

于是，“群”的概念被从不同领域中被抽象出来，并演化出环、场、Modules和向量空间等概念。这些概念，今天统称为抽象代数，也称近世代数(Morden Algebra)。你要是和一群搞数学的人在一起，他们就称之为“代数”，但你可能发现他们聊的内容的与你印象中的代数完全不同！

群不仅已经深入到几乎所有的数学分支，也被广泛应用于物理、化学和计算机等领域。上图中的 $CCl_4$ 分子具有四面体形状，其对称组有24个元素，化学家使用对称基团对分子进行分类，并预测其化学性质。李群是量子力学的重要工具，在机器人领域，李群被应用于刚体位移群的矩阵表示。也有人尝试用群论来解释深度学习是如何工作的。[1]

SO(3)上运动的几何表达除了基础的集合概念，说起来学习群论好像不需要什么数学基础，为了能轻松而牢固地理解群的概念，下一篇文章将通过具体的例子来解释群的特点，请戳➡️ 这里！

本系列旨在提供一个人人都能理解的群论入门，但又不失数学的严谨性，仅要求初中以上数学，和具有数学思维(证明、集合、抽象等)。

https://zhuanlan.zhihu.com/p/375536437

[ 本帖最後由佛光普照於 2022-1-4 03:40 編輯 ]

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伽罗瓦理论之美

遥远地方剑星

这篇文章是我在2017年夏天写的，首发于我自己的科学网博客。后来被当时的《赛先生》微信公众号以“一个21岁就去世了的年轻人，开创了现代代数学的先河”为标题转载

【刘克峰教授当时写的主编点评】：

   数学的历史是天才荟萃的历史，而伽罗瓦毫无疑问是天才中的天才。他从16到21岁的五年之间，系统地发展了用群论取代计算的奇思妙想，创造了美妙至极的伽罗瓦理论，这可以说是数学史上无中生有、开天辟地的奇迹。用现代的观点看，伽罗瓦这位两百年前的“政治愤青”，他的数学成就绝不是几个菲尔兹奖就可以衡量的。看看这套理论的简单推论吧，它不仅轻松地解决了五次以上方程式没有根式解的旷古难题，还同时解决了尺规三等分角，倍方问题等千年难题。这是所有数学家梦寐以求，至高无上的研究境界。

   有意思的是，这几个著名的难题迄今都还吸引着不少业余数学家们孜孜不倦。我衷心地希望这些数学爱好者们能把他们的热情和精力用来研读伽罗瓦理论，这是进入现代数论，乃至现代数学的法门。另外，受伽罗瓦群论的影响，数学家李在一百五十年前创造了连续群，称为李群，这是数学中另一个伟大的理论，它与伽罗瓦理论都成为了现代数学研究生的必修课程。两百年后的今天，伽罗瓦理论依然影响着几乎每一个数学领域的发展。更确切地说，它的影响还在与日俱增，已经远远超越了数论乃至数学的世界。毫不夸张地说，群和对称早已经成为了许许多多科学发现的指南针。

   众所周知，法国人天性浪漫，德国人生活严谨，但两个国家的历史上，却都产生了许许多多伟大的数学天才。真心希望我们伟大的祖国有一天能冒出伽罗瓦般的天才。伽罗瓦本人的生命如流星一般，短暂灿烂，悲壮传奇，也许只有这样的生命才会开出如此绚丽的智慧之花。这篇文章非常精彩地介绍了伽罗瓦的生平与数学成就，并明确地解释了群环域的基本概念，阐述了伽罗瓦理论的精髓，引导我们领略了伽罗瓦理论的深刻和美丽。

【写这篇文章不是给学习近世代数的人用的，而是给不熟悉数学的人看的。哪怕不能完全看懂，也希望人们能了解数学研究所达到的高度，希望能够领略数学之美。】

伽罗瓦（Évariste Galois，1811～1832），一个21岁就去世了的年轻人，开创了现代代数学的先河。他创建的群论、域论，优美奥妙，已经成为现代代数学的基本工具。我花了两个月的时间研读伽罗瓦理论，随着理解的深入，我内心不断感受到震撼，心底油然而生对伽罗瓦的钦佩与崇拜。这种感觉就像终于看懂了世界上最美妙的画作、听懂了世界上最优雅的旋律一样，不由自主的希望与别人共享。遗憾的是，数学之美只能是那些真正研读并理解了它的人们才能感受得到。伽罗瓦理论虽然优美，但是却足够深奥，除了数学专业人士和肯于钻研的数学爱好者之外，尚不能被普通大众所理解。

可是我不甘心，我期望着尽自己的努力，用最简明通俗的语言，尽量不涉及复杂的数学公式和逻辑推导，而把伽罗瓦理论的优美展现在大众面前。伽罗瓦是一个200年前有故事的年轻人，伽罗瓦理论是一座险峻的高峰。让我们一边阅读伽罗瓦的人生故事，一边尝试着攀登这座高峰吧。

首先，我们来引用伽罗瓦的一段话

“Jump above calculations, group the operations, classify them according to their complexities rather than their appearance; this, I believe, is the mission of future mathematicians; this is the road I'm embarking in this work.”
（跳出计算，群化运算，按照它们的复杂度而不是表象来分类；我相信，这是未来数学的任务；这也正是我的工作所揭示出来的道路。）

   当21岁的伽罗瓦在临死前一天晚上把他主要的研究成果以极其精简、跳跃的思维写在草稿纸上的时候，没有人知道当代最伟大的数学工具和数学研究方向已经在伽罗瓦的头脑中存在了1年多的时间了。甚至是在伽罗瓦第二天参与一个愚蠢的决斗而死后的14年内，都没有人彻底弄明白伽罗瓦写的到底是什么，他头脑中那伟大而天才的数学结构是怎样的？看看这些霸气的名字吧，高斯、柯西、傅立叶、拉格朗日、雅可比、泊松、……，这些在那个时代、同时也是人类历史上的伟大的数学家、物理学家都没有理解伽罗瓦的理论，从这个意义上讲，伽罗瓦恐怕是人类历史上最具天才的数学家了。

   让我们先来看一些对比：

   （1）1824年，挪威数学家阿贝尔发表了《一元五次方程没有一般代数解》的论文，用了50多页的篇幅和大量的计算，论证了对于一般的一元五次方程是不可能根式求解的。当时阿贝尔的证明今天看来，充满着智慧和复杂的计算，但是仍不够严谨。当我们今天使用伽罗瓦理论来论证这一点的时候，论证过程为“一般一元五次方程的伽罗瓦群同构于全置换群S5，而S5不是可解群，因此一般一元五次方程不可根式求解。”

   （2）1801年，年轻的24岁“数学王子”高斯通过复杂的计算推导，证明了x^p-1=0（p为素数）是可根式求解的，证明过程使用了大量计算技巧，充分展示了高斯的数学计算天赋。今天我们使用伽罗瓦理论来论证这一点的时候，论证过程为“方程x^p-1=0（p为素数）在有理数域Q上的伽罗瓦群同构于素数阶模p同余类乘群Zp，而Zp是循环群，必为可解群，因此方程x^p-1=0可根式求解。”甚至我们可以类似的论证p不为素数时的方程x^n-1=0在Q上的伽罗瓦群同构于模n同余类乘群Z’n，为可换群（阿贝尔群），必为可解群，因此方程x^n-1=0可根式求解。

   伽罗瓦理论还可以轻松的解决正n边形的尺规作图问题，证明三等分角、倍立方、化圆为方（这个有赖于π是超越数的证明）的尺规作图不可能问题。今天，伽罗瓦的理论已经发展成叫做“近世代数”（又叫抽象代数）的一个专门数学分支，其应用拓展到了拓扑、微分几何、混沌等前沿数学研究领域以至于物理、化学等众多科学领域，成为了现代科学研究的重要基础工具。1994年英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）证明著名的“费马大定理”的时候，就主要应用了伽罗瓦理论。

   当看到一大批通过繁杂计算很难得到证明的问题，能够被使用精巧的数学结构来简洁而精准证明的时候，你也许开始感受到伽罗瓦理论的优美——但这仅仅是一个开始。从这个“开始”，我们会逐渐感受到伽罗瓦所说的“Jump above calculations, group the operations.”的含义。那么伽罗瓦到底发明了什么数学结构和工具，使得原来复杂的问题变得清晰起来了呢？

一、更高层次的抽象——群、环、域
   【伽罗瓦的故事】.......

（后面很长，点击链接看原文吧）

https://zhuanlan.zhihu.com/p/28023009

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什么是群、什么是阿贝尔群（abel群、阿贝尔群也称为交换群或可交换群）、群论入门

一、什么是群伽罗瓦理论之美
参考URL: https://zhuanlan.zhihu.com/p/28023009
中文名：群
外文名：group
含义：数学概念

在数学中，群表示一个拥有满足封闭性、满足结合律、有单位元、有逆元的二元运算的代数结构，包括阿贝尔群、同态和共轭类。

伽罗瓦是站在更高的层次上来看待数和运算的。在伽罗瓦看来，“数和运算”组合在一起可以构成一种数学结构，这是一种更加本质、更加抽象的数学结构，当继续把这种结构脱离“数字和常规意义上的运算”而抽象出来的时候，就形成了新的数学概念——群。

（1）群：给一个集合中的元素定义一种运算“乘法”（这个“乘法”不是数字运算的乘法，而只是借用了这个名字，因此加上了引号），如果这个集合中的元素和这个“乘法”满足：

<1> 封闭性：集合中任两个元素相“乘”的结果在这个集合之内；
<2> 结合律：这个“乘法”满足(ab)c=a(bc)；
<3> 单位元：集合中存在某个元素e，对于任意集合中的其它元素a有 ea=ae=a，e被称为单位元；
<4> 逆元：对于集合中任意元素a，一定存在集合中的另外一个元素a^{-1}，使得a ∗ a^{-1}=1 。a与a^{-1}互为逆元。

此时，这个集合与这个运算组合在一起被称为“群”。

“群”很显然是把数字及其运算关系抽象之后形成的一种数学结构。容易验证，整数集合在加法运算下成群（这里的加法就通常意义的数字加法，对应着群定义中的“乘法”），其单位元是数字0；但是整数集合在乘法运算下不成群，这是因为对于大部分整数，没有乘法的逆元。

其实群在日常生活中也会存在，常见的是魔方，它的全部操作构成一个集合，再定义任意两种操作的“乘法”为“先执行第一种操作、再执行第二种操作”，则容易验证魔方的全部操作在这种“乘法”下成群，叫做RUBIC群。

环与域：在一个集合上定义两种运算“加法”和“乘法”，如果这个集合在这个“加法”下成群，而在这个“乘法”下只满足“封闭性”与“结合律”，则称这个集合与这两种运算构成一个“环”；如果这个集合去除“加法”群下的单位元后形成的新集合在“乘法”下成群，则称这个集合与这两种运算构成一个“域”。显然，“域”是一种特殊的“环”（以上不是环与域的严格定义）。

特别是看懂了“群”和“域”这两个概念，就会理解这些结构其实就是从基础的数字运算关系中抽象出来的。 比如：有理数在加法和乘法运算下构成一个域，0是加法单位元，1是乘法单位元，不包含0的有理数在乘法运算下成群；实数、复数在加法和乘法下都构成域；无理数在加法和乘法下不能构成域，这是因为无理数之和可能是有理数，不满足封闭性。

二、什么是阿贝尔群中文名：阿贝尔群

外文名：Abel Group
别称：交换群或可交换群

阿贝尔群以挪威数学家尼尔斯·阿贝尔命名。

阿贝尔群（Abelian Group），又称交换群或加群，是这样一类群：

它由自身的集合 G 和二元运算 * 构成。它除了满足一般的群公理，即运算的结合律、G 有单位元、所有 G 的元素都有逆元之外，还满足交换律公理。因为阿贝尔群的群运算满足交换律和结合律，群元素乘积的值与乘法运算时的次序无关。

三、

群论入门五次方程（三）群论入门隐藏在根与系数关系中的秘密
https://www.bilibili.com/video/BV1Wb41187wA?from=search&seid=13543561021966465460

关于群论和魔群的简单介绍
https://www.bilibili.com/video/BV1Rh411R7KL?from=search&seid=1746449292493558236

四、

五次方程为什么没有求根公式？（一）阿贝尔和伽罗瓦的悲惨世界
https://www.bilibili.com/video/BV1pb411Y7fB?from=search&seid=12430106117119008311

【天才简史-阿贝尔】穿越者都没这么厉害吧？阿贝尔，一个让我跪着把视频做完的男人！
https://www.bilibili.com/video/BV1pi4y1E7DP/?spm_id_from=333.788.videocard.0

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师人中讲道168中提到五次方程通解、数值解：

还有这个科学，我告诉大家啊，其实本来是我们漢家的，后来被外星人盗用了，反过来压制我们。我们古代科学那个发达啊，很多真相现在还都没有揭示出来，你比如说啊，求任意高次方程的数值解，因为已经证明五次以上的方程没有通解公式，所以实用过程中都是用的数值解，英国数学家霍纳在1819年发表《解所有次方程》论文，可是啊，后来一个英国传教士发现，竟然中国南宋的数学家秦九韶在他1247年编写的《数书九章》一书中就有提出了高次方程的数值解法“秦九韶算法”，提出“商常为正，实常为负，从常为正，益常为负”的原则，而且霍纳论文中的算例，其算法程序和数字处理都远不及五百多年前的秦九韶有条理；秦九韶算法不仅在时间上早于霍纳，也更加成熟！秦九韶的《数书九章》详细叙述用秦九韶算法求解二十六个二次到十次方程的的实数根的数值解，“《遥度圆城》” 题列出一个十次方程，求解圆城的直径。给出了详细算法。我们不仅想，古人求解这么高次的方程，究竟想干什么？弹道计算？电磁场分析？都有可能的。

还有你看我们宋朝时期，火药火炮就极为先进，科学文明本来是我们漢家的。我为什么一直告诉你们科学来自洪穹苍宇外，为什么告诉你们科学要学好，以后会用到，就是这个，这本来是我们的东西，谁说科学不是人类的？

东方秦九韶、西方伽罗瓦

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